纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

  • 时间:
  • 浏览:0
  • 来源:大发pk10_pk10最新网站_大发pk10最新网站

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是五种生活数学证明方式,常用于证明命题(命题是对某个哪此的问題的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了许多许多领域(比如数学分析)的基础,什么都 数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法五种生活非常简单。原应 许多人儿我我应该 证明某个命题对于自然数n都成立,如此:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上面的那我步骤。它们实际上原应 ,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。有日后,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,许多人儿选折 n的倒下会原应 n + 1的倒下,有日后推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

许多人儿来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(许多公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,不不 算出1到1150的累加,不不 回家。于是高斯想出了上面的方式。天才全是被逼出来的么?)

许多人儿的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,有日后命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    如此,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。有日后,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

有日后,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指那我计算机线程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求线程有那我不不 达到的终止条件(base case)。比如下面的线程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在线程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我我应该 得到f(n),不不 计算f(n-1);我我应该 f(n-1),不不 计算f(n-2)……直到f(1)。原应 许多人儿原应 知道了f(1)的值,许多人儿就都不不 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的线程实现。使用递归设计线程的事先,许多人儿设置base case,并假设许多人儿会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,许多人儿只关注初始和衔接,而不不不 关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据特性实现的。正如许多人儿上面所说的,计算f(n),不不 f(n-1);计算f(n-1),不不 f(n-2)……。许多人儿在寻找到f(1)事先,会有许多空缺: f(n-1)的值哪此? f(n-2)的值是哪此? …… f(2)的值是哪此?f(1)的值是哪此? 许多人儿的第那我哪此的问題是f(n)是哪此,结果,许多哪此的问題引出下那我哪此的问題,再下那我哪此的问題…… 每个哪此的问題的解答都依赖于下那我哪此的问題,直到许多人儿找到第那我都不不 回答的哪此的问題: f(1)的值是哪此?

许多人儿用栈来保存许多人儿在探索过程中的哪此的问題。C语言中,函数的调用原应 是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,什么都 很自然的,递归用栈来保存许多人儿的“哪此的问題” 。

许多人儿假设栈向下增长。首先,许多人儿调用f(1150),如此当执行到

return f(n-1) + n; 

f(1150)暂停执行,并记录当前的情形,比如n的值,当前执行到的位置。日后调用f(99),栈增加那我frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

有日后返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(1150),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(1150)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也都不不 自行手动实现栈。那我都不不 得到更好的运行波特率。

总结

数学归纳法

递归

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据特性”系列。